Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác nội tiếp và tiếp tuyến.

1/ Ta có tính chất: "Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn, thì bình phương độ dài tiếp tuyến bằng tích độ dài các phần tiếp tuyến".

Áp dụng tính chất này vào tam giác ABC, ta có:
- Gọi N là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đường tròn (O).
- Theo tính chất trên, ta có: MA² = MB.MC.

2/ Vì CE // MA, nên ta có hai góc AEC và MCA đồng quy.
- Gọi x = ∠AEC = ∠MCA.
- Ta có: ∠ACE = 180° - ∠AEC = 180° - x.
- Vì tam giác ACE nội tiếp, nên ta có: ∠ACE = ∠ABC = ∠MBC.
- Vì ∠MCA = x, ∠MBC = ∠MCA = x, nên tam giác MBC cân tại M.
- Vì tam giác MBC cân tại M, nên ta có: BM = MC.
- Vì tam giác ACE cần, nên ta cần chứng minh ∠ACE = ∠CBE.
- Ta có: ∠ACE = 180° - ∠AEC = 180° - x.
- Ta cũng có: ∠CBE = ∠MBC = x.
- Vậy, ta có ∠ACE = ∠CBE, từ đó suy ra tam giác ACE cần.

3/ Ta có: AB là tiếp tuyến tại A, nên ∠ABC = 90°.
- Gọi x = ∠BAC.
- Ta có: ∠ABE = ∠ABC = 90°.
- Ta cũng có: ∠BME = ∠BAC = x.
- Vì tam giác MBC cân tại M, nên ta có: ∠MBC = ∠MCB = (180° - ∠BMC) / 2 = (180° - 2x) / 2 = 90° - x.
- Vậy, ta có: ∠ABE = ∠MBC = 90° - x.
- Ta cũng có: ∠BME = ∠BAC = x.
- Vậy, ta có: AB² - BE.BM = AB² - BE.BC = AB² - BE.(BM + MC) = AB² - BE.(AB + AC) = AB² - BE.(AB + AB) = AB² - 2AB.BE.
- Vậy, ta cần chứng minh AB² - 2AB.BE = 0.
- Ta có: AB² - 2AB.BE = AB.(AB - 2BE) = AB.(AB - 2AE) = AB.AB - 2AB.AE = AB.AB - 2AM.AE = AB.AB - 2MA.ME.
- Vì tam giác ABC nội tiếp, nên ta có: AB.AB = AM.AN.
- Vì E là tiếp điểm của tiếp tuyến tại A, nên ta có: AM.AN = AE.AE.
- Vậy, ta có: AB.AB - 2MA.ME = AE.AE - 2MA.ME = AE.AE - 2ME.AM = (AE - ME)² = AM².
- Vậy, ta có: AB² - 2AB.BE = 0, từ đó suy ra AB² - BE.BM = 0.