a) Ta có ME = MA (theo đề bài). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
ME = MA = MC + AE = BM + AE = BE + AE = BA + AE
Vậy ta có tam giác BME cân tại B.

b) Ta có tam giác BME cân tại B (theo câu a). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
BE = BA + AE = BA + MA = BA + MC = BC
Vậy ta có AB = CE.

Ta có tam giác BME cân tại B (theo câu a). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
ME = MA = MC + AE = BM + AE = BE + AE = BA + AE
Vậy ta có tam giác BME cân tại B.

c) Ta có tam giác BME cân tại B (theo câu a). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
BE = BA + AE = BA + MA = BA + MC = BC
Vậy ta có AB = CE.

d) Ta có tam giác BME cân tại B (theo câu a). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
ME = MA = MC + AE = BM + AE = BE + AE = BA + AE
Vậy ta có tam giác BME cân tại B.

Bây giờ, ta có AI = EK (theo đề bài). Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
AI = AM + MI = AM + MB = AE + MB = BE + MB = BM + ME = BM + MA = BA + MA = BA + AE = BE + AE = EK
Vậy ta có AI = EK.

Vậy ta có 3 điểm I, M, K thẳng hàng.

Bài 7) a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A. K là trung điểm của BC nên BK = KC. Khi đó, ta có:
AK = AB + BK = AB + KC = AB + AC = AB + AB = 2AB
Vậy ta có AK = 2AB.

b) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A. K là trung điểm của BC nên BK = KC. Khi đó, ta có:
AK = AB + BK = AB + KC = AB + AC = AB + AB = 2AB
Vậy ta có AK = 2AB.

Bài 8) a) Ta có tam giác ABC cân tại B. M là trung điểm của AC nên AM = MC. Khi đó, ta có:
MD = MB = MC + BC = AM + BC = AC + BC = AB
Vậy ta có MD = AB.

b) Ta có tam giác ABC cân tại B. M là trung điểm của AC nên AM = MC. Khi đó, ta có:
MD = MB = MC + BC = AM + BC = AC + BC = AB
Vậy ta có MD = AB.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD, CD. Ta có tam giác ABC cân tại B. M là trung điểm của AC nên AM = MC. Khi đó, ta có:
AE = AM = MC
CF = CM = MA
Vậy ta có tam giác AEF đồng dạng với tam giác AMC.
Vì AE // MC và AF // MA nên ta có EF // AC.
Vậy ta có EF // AC.