Để phân tích đa thức x^5 + x^4 + 1 thành nhân tử, ta có thể sử dụng công thức khai triển đa thức.

Đầu tiên, ta thấy rằng đa thức này không có thể tích nào có bậc nhỏ hơn 5. Vậy ta có thể tìm nhân tử bậc 1 của đa thức này.

Ta thử với x + 1:
(x + 1)(x^5 + x^4 + 1) = x^6 + x^5 + x + x^5 + x^4 + 1 = x^6 + 2x^5 + x^4 + x + 1

So sánh với đa thức ban đầu, ta thấy rằng ta cần giảm bậc của đa thức hiện tại từ 6 xuống 5. Vậy ta cần loại bỏ x^6 trong đa thức hiện tại.

(x + 1)(x^5 + x^4 + 1) - x(x^6 + 2x^5 + x^4 + x + 1) = x^5 + x^4 + 1 + 2x^5 + x^4 + x + 1 - x^7 - 2x^6 - x^5 - x^2 - x = -x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2

Tiếp theo, ta thử tìm nhân tử bậc 2 của đa thức hiện tại. Ta có thể thử với x^2 + 1:
(x^2 + 1)(-x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2) = -x^9 - x^8 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^2 - x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2

So sánh với đa thức hiện tại, ta thấy rằng ta cần giảm bậc của đa thức hiện tại từ 9 xuống 7. Vậy ta cần loại bỏ x^9 và x^8 trong đa thức hiện tại.

(-x^9 - x^8 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^2 - x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2) - (x^2 + 1)(-x^9 - x^8 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^2 - x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2) = -x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2 - x^11 - x^10 + 2x^8 + 2x^7 + 2x^4 - x^9 - x^8 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^2 - x^7 - x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2

Tiếp tục quá trình này, ta sẽ tìm được nhân tử của đa thức ban đầu. Tuy nhiên, quá trình này có thể rất phức tạp và mất nhiều thời gian.