Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Ta có tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC.
Vì CE = 1/3 CA nên E là trung điểm của AC, tương tự với D là trung điểm của BC.
Do đó, ta có BE song song với AD và CI song song với DE.
Gọi M là giao điểm của CI và AB, ta có BM song song với DE nên BM chia AD thành tỉ lệ 1:2.
Từ đó, ta có AM = 2MD và BM = 2MI.
Vậy ta có: BD^2 = BM^2 + MD^2 = 4MI^2 + MD^2 = DI × DA (do tam giác AID đồng dạng với tam giác BIM).
Gọi G là giao điểm của AK và BC, ta có AG song song với DE nên AG chia BC thành tỉ lệ 1:2.
Từ đó, ta có CG = 2GK và BG = 2BK.
Vậy ta có: CG^2 = BG × BK = 4BK^2.
Do đó, ta có: tan(CAK) = CG/AK = 2GK/AK = 2/3.
Vậy số đo góc CAK là arctan(2/3).