Cho tam giác DEF có 3 đường trung tuyến DM, EN, FP đồng quy tại G. Trên tia đối của tia GD lấy điểm Q sao cho GD = GQ. Chứng minh :

Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác DEF và tam giác EGQ.

a) Ta có tam giác DEF và tam giác EGQ đồng quy tại G, nên ta có:
$\frac{DM}{ME} \cdot \frac{EN}{NF} \cdot \frac{FP}{PD} = 1$
$\frac{GD}{GQ} \cdot \frac{QE}{EG} \cdot \frac{QF}{FG} = 1$

Vì GD = GQ, nên ta có:
$\frac{QE}{EG} = \frac{2}{3}$

b) Ta có:
$\frac{GK}{KD} \cdot \frac{DM}{ME} \cdot \frac{EN}{NF} = 1$
$\frac{EM}{MF} \cdot \frac{FP}{PD} \cdot \frac{GQ}{QD} = 1$
$\frac{QH}{HF} \cdot \frac{FG}{GD} \cdot \frac{DK}{KE} = 1$

Với $\frac{DM}{ME} = \frac{EN}{NF} = \frac{FP}{PD} = 2$, ta có:
$\frac{GK}{KD} = \frac{EM}{MF} = \frac{QH}{HF} = \frac{1}{2}$

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).