Giải:

a) Ta có $\angle AID = \angle AMD$ vì chúng cùng nằm trên cung AD của nửa đường tròn.

Tương tự, $\angle AIM = \angle ADM$.

Do đó, ta có $\angle AID = \angle AMD = \angle AIM = \angle ADM$.

Vậy tứ giác AIDM là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\angle HID = \angle HAD$ vì chúng cùng nằm trên cùng cung AD của nửa đường tròn.

Tương tự, $\angle HIM = \angle HAM$.

Do đó, ta có $\triangle HID \sim \triangle HAD$ và $\triangle HIM \sim \triangle HAM$.

Áp dụng định lí đồng dạng ta có:

$\frac{HD}{HA} = \frac{HI}{HM}$

$\Rightarrow HD \cdot HM = HA \cdot HI$

Vậy $HD \cdot HA = HI \cdot HM$.

Điều phải chứng minh.