a) Ta có:
\(\angle ACD = 90^\circ\) (do CD vuông góc với AB tại C)
\(\angle AMD = \angle AKD = 90^\circ\) (do AM và KD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O))
Do đó, tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.
Tương tự, ta có tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
\(\angle MKC = \angle MBC\) (cùng chắn cung MK trên nửa đường tròn)
\(\angle MCK = \angle MBK\) (cùng chắn cung MK trên nửa đường tròn)
Do đó, tứ giác MKCB là tứ giác tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác MKCB, ta có:
\(MK.MB + MC.MK = MB.MC\)
\(MK(MB + MC) = MB.MC\)
\(MK.MA = MB.MD\)

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD. Ta cần chứng minh E nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.
Ta có:
\(\angle EKD = 2\angle EAD\) (cùng nằm trên cùng một cung AD)
\(\angle EAK = \angle EDK\) (cùng nằm trên cùng một cung EK)
Do đó, tam giác EAK đồng dạng tam giác EKD.
Vậy, E nằm trên đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.