Giả sử a là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đã cho. Ta có:

a + 1 = x^2 (1)
2a + 1 = y^2 (2)

Trừ cả hai phương trình ta được:

y^2 - 2x^2 = 1

Đây là phương trình Pell-Fermat với dạng tổng quát là x^2 - 2y^2 = -1. Với m = 2, ta có thể tìm ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) = (1, 1) và (x1, y1) = (7, 5).

Ta biết rằng nếu (x0, y0) là một nghiệm của phương trình Pell-Fermat x^2 - my^2 = 1 thì (x0, y0) cũng là một nghiệm của phương trình x^2 - my^2 = -1. Vì vậy, ta có thể tìm ra các nghiệm của phương trình y^2 - 2x^2 = 1 bằng cách lấy các bội số của (x0, y0) và (x1, y1).

Ta có thể tìm ra các cặp nghiệm (x, y) của phương trình y^2 - 2x^2 = 1 như sau: (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), ...

Quay lại phương trình (1) và (2), ta thấy rằng a + 1 và 2a + 1 đều là số chính phương. Vì vậy, ta có thể viết a + 1 = (x)^2 và 2a + 1 = (y)^2, trong đó (x, y) là một cặp nghiệm của phương trình y^2 - 2x^2 = 1.

Ta thấy rằng a = y^2 - 1 và a = (x)^2 - 1. Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

y^2 - 1 = (x)^2 - 1
y^2 = (x)^2
y = x

Do đó, a = y^2 - 1 = x^2 - 1. Vì vậy, a chính là số nguyên tố của phương trình x^2 - 1 = 24, tức là a chia hết cho 24. Điều cần chứng minh.