Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn

a) Ta có góc EAF = góc IAM (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn), góc EFM = góc IAM (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn), suy ra tứ giác EFMK nội tiếp.

b) Ta có góc IAM = góc EAF (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn), góc EAF = góc BAF (do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại A), suy ra góc IAM = góc BAF.
Tứ giác AIKF nội tiếp (do góc IAM = góc BAF), từ đó suy ra AI^2 = IM.IB.

c) Ta có góc AKF = góc EAF (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn), góc EAF = góc BAF (do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại A), suy ra góc AKF = góc BAF.
Tứ giác AKFH là hình thoi (do góc AKF = góc BAF và góc AFK = góc AFB).

d) Để tứ giác AKFI nội tiếp, ta cần chứng minh góc AKI = góc AFI.
Gọi góc AKI = x, ta có góc AFI = góc EFM = góc EAM = góc IAM = góc KAI = 180° - x.
Do đó, tứ giác AKFI nội tiếp khi và chỉ khi góc AKI = góc AFI, tức là x = 180° - x, suy ra x = 90°.
Vậy, để tứ giác AKFI nội tiếp, ta cần chọn vị trí của M sao cho góc AKI = 90°.