Chứng minh rằng: Tồn tại một phương trình bậc 2 có các hệ số là số hữu tỉ và có một trong các nghiệm bằng

a) Ta xét phương trình bậc 2 có dạng ax^2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ.

Giả sử nghiệm của phương trình là 2 + √3, ta có:

a(2 + √3)^2 + b(2 + √3) + c = 0

a(4 + 4√3 + 3) + b(2 + √3) + c = 0

a(7 + 4√3) + b(2 + √3) + c = 0

7a + 4a√3 + 2b + b√3 + c = 0

(7a + 2b + c) + (4a + b)√3 = 0

Vì a, b, c là số hữu tỉ nên ta có hệ số của √3 phải bằng 0, tức là:

4a + b = 0

7a + 2b + c = 0

Ta có thể chọn a = 1, b = -4 để thỏa mãn hệ phương trình trên.

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là x^2 - 4x + c = 0, với c là số hữu tỉ.

b) Ta xét phương trình bậc 2 có dạng ax^2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ.

Giả sử nghiệm của phương trình là (√3 - √2)/(√3 + √2), ta có:

a(√3 - √2)^2 + b(√3 - √2) + c = 0

a(3 - 2√6 + 2) + b(√3 - √2) + c = 0

a(5 - 2√6) + b(√3 - √2) + c = 0

5a - 2a√6 + b√3 - b√2 + c = 0

(5a - b) + (-2a + b)√6 + b√3 - b√2 + c = 0

Vì a, b, c là số hữu tỉ nên ta có hệ số của √6, √3, √2 phải bằng 0, tức là:

-2a + b = 0

b = 0

5a + c = 0

Ta có thể chọn a = 1, b = 0 để thỏa mãn hệ phương trình trên.

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là x^2 + c = 0, với c là số hữu tỉ.