Cho P(x) là đa thức có hệ số nguyên

Để tính P(5), ta cần tìm đa thức P(x) trước. Ta có các điều kiện sau:

1. P(x) chia cho x+3 dư 2: Ta có P(-3) = 2.
2. P(x) chia cho x-4 dư -5: Ta có P(4) = -5.
3. P(x) chia cho x^2 - x - 12 được thương là x^2 + 2x + 3 và còn dư: Ta có P(x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - x - 12) + ax + b, với a và b là hệ số cần tìm.

Thay x = -3 vào P(x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - x - 12) + ax + b, ta được:
2 = (9 - 6 + 3)(9 + 3 - 12) + (-3a + b)
2 = 6*0 - 3a + b
2 = -3a + b

Thay x = 4 vào P(x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - x - 12) + ax + b, ta được:
-5 = (16 + 8 + 3)(16 - 4 - 12) + 4a + b
-5 = 27*0 + 4a + b
-5 = 4a + b

Giải hệ phương trình:
2 = -3a + b
-5 = 4a + b

Từ đó, ta tìm được a = -3 và b = -1. Vậy đa thức P(x) là:
P(x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - x - 12) - 3x - 1

Cuối cùng, ta tính P(5) bằng cách thay x = 5 vào P(x):
P(5) = (5^2 + 2*5 + 3)(5^2 - 5 - 12) - 3*5 - 1
P(5) = (25 + 10 + 3)(25 - 5 - 12) - 15 - 1
P(5) = 38*8 - 15 - 1
P(5) = 304 - 15 - 1
P(5) = 288

Vậy P(5) = 288.