Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng A (D khác A và B)

a, Ta có:
\[ \angle BDP = \angle BDA = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - \angle ADK = \angle CKQ \]
Và:
\[ \angle PBD = \angle KCD = \angle KCI = \angle QCK \]
Do đó, ta có \( \triangle BDP \cong \triangle CKQ \) (cùng có góc, cạnh, góc tương ứng bằng nhau), từ đó suy ra \( I \) là trung điểm của \( DK \).

b, Ta có \( \angle DMI = 90^\circ - \angle AMD = 90^\circ - \angle ADB = \angle ADK = \angle CKQ \), nên \( \angle DMI = \angle CKQ \). Tương tự, ta cũng có \( \angle IMC = \angle KQC \). Do đó, \( \triangle DMI \sim \triangle CKQ \), từ đó suy ra \( \angle IMS = \angle CKQ = \angle DMI \), tức là \( SC \) vuông góc với \( AK \).

c, Ta có:
\[ MD + ME \geq DE \]
Và:
\[ DE = AD + AE \]
Do đó:
\[ MD + ME \geq AD + AE \]
Vậy ta đã chứng minh được bài toán.