a) Ta có:
$\angle BEC = 90^\circ$ (do BE là đường cao của tam giác ABC)
$\angle BFC = 90^\circ$ (do CF là đường cao của tam giác ABC)
Vậy tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle KEM = \angle KAM$ (cùng chắn cung KM trên đường tròn (O))
$\angle KFM = \angle KAM$ (cùng chắn cung KM trên đường tròn (O))
Vậy $\angle KEM = \angle KFM$
Vậy tứ giác KEFM là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KEFM ta có:
$KE \cdot FM + KF \cdot EM = KM \cdot EF$
$KE \cdot KF = KM \cdot EF$ (vì $EM = FM$)
$KE \cdot KF = KM \cdot KA$ (vì $EF = KA$)

Ta có $\angle KEM = \angle KFM = 90^\circ$ nên KM đi qua trung điểm của EF.
Vậy ba điểm M, H, I thẳng hàng.