Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn, D thuộc cung lớn BC, BD < DC, K là giao điểm của BC và OA

a) Ta có:
$\angle AOB = 90^{\circ}$ (do $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $B$)
$\angle AOC = 90^{\circ}$ (do $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $C$)

Vậy tứ giác $ABOC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle BHC = 90^{\circ}$ (do $BH$ vuông góc với dây cung $CD$)
$1$ là trung điểm của $BH$ nên $BH = 2 \cdot 1H$

Gọi $N$ là giao điểm của $DI$ và đường tròn $(O)$, ta có:
$\angle ANI = \angle ADO = \angle ACO = \angle ABC$
$\angle ANI = \angle ABC$ nên $AN \parallel BC$

Gọi $M$ là giao điểm của $AN$ và đường tròn $(O)$, ta có:
$\angle AMN = \angle AON = 90^{\circ}$ (do $OA$ là đường tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$)
$\angle ANM = \angle AOM = 90^{\circ}$ (do $OA$ là đường tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$)

Vậy ta có tứ giác $AMON$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó, ta có: $AM \cdot AN = OM \cdot ON = R^2 \cdot 3 = 3R^2$

c) Ta có:
$\angle AMN = \angle AON = 90^{\circ}$ (do $OA$ là đường tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ tại $A$)

Vậy $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$.

Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.