Cho đường tròn (O;R), từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (B; C là hai tiếp điểm) và cát tuyến AED (AE < AD) sao cho tia AD nằm giữa hai tia AB và AO

Ta có:
- Vì AB và AC là hai tiếp tuyến nên ∠OBA = ∠OCA = 90°
- Vì BF // DE nên ∠FBC = ∠DEC
- Ta có ∆OAB đồng dạng với ∆OCA (cùng có góc vuông và góc ở đỉnh bằng nhau) nên OA/OB = OC/OA => OA^2 = OB.OC
- Từ đó, ta có ∆OAB đồng dạng với ∆OBF (cùng có góc vuông và góc ở đỉnh bằng nhau) nên OA/OB = OB/OF => OA.OF = OB^2
- Tương tự, ta có ∆OCA đồng dạng với ∆OCE nên OA.OE = OC^2
- Khi đó, ta có OA.OF = OA.OE => OF = OE
- Vậy, ta có ∆OFE là tam giác cân tại O
- Vì BF // DE nên ∠FBC = ∠DEC => ∠FBC = ∠FEC
- Ta có ∠FBC = ∠FEC = ∠FOE = ∠OFE => ∆FBC đồng dạng với ∆FEC
- Từ đó, ta có FB/FC = FE/EC = FO/OE = 1
- Vậy, ta có FB = FC
- Khi đó, ta có ∆FBC là tam giác cân tại F
- Vì ∆FBC cân tại F nên FG là đường cao của ∆FBC => FG vuông góc với BC
- Vì ∆FBC đồng dạng với ∆FEC nên FG cũng là đường cao của ∆FEC => FG vuông góc với EC
- Vậy, ta có FG vuông góc với BC và EC => FG // AD
- Khi đó, ta có ∆FGA đồng dạng với ∆FBC (cùng có góc vuông và góc ở đỉnh bằng nhau) nên GA/FG = FB/FC = 1 => GA = FG
- Ta có ∠FBC = ∠FEC = ∠FDC (do DE // BC) => ∆FBC đồng dạng với ∆FDC
- Từ đó, ta có FD/FC = FB/FC = 1 => FD = FC
- Vậy, ta có ∆FDC là tam giác cân tại F
- Vì ∆FDC cân tại F nên FI là đường cao của ∆FDC => FI vuông góc với DC
- Vì ∆FDC đồng dạng với ∆FEC nên FI cũng là đường cao của ∆FEC => FI vuông góc với EC
- Vậy, ta có FI vuông góc với DC và EC => FI // DE
- Khi đó, ta có ∠FDC = ∠FEC = ∠FOE = ∠OFE => ∆FDC đồng dạng với ∆OFE
- Từ đó, ta có FD/OF = DC/OE => FD = DC.OF/OE
- Vì FD = FC = DC.OF/OE => DC.OF/OE = FC
- Vì FD = FC = DC.OF/OE => DC.OF = FC.OE
- Tương tự, ta có FC.OE = EC.OF
- Từ hai biểu thức trên, ta có DC.OF = EC.OF => DC = EC
- Vậy, ta có ∆FDC đồng dạng với ∆FEC nên FI/FE = FD/FC = 1 => FI = FE
- Vậy, ta có I là trung điểm của DE
- Ta có GA = FG (đã chứng minh ở trên)
- Vì I là trung điểm của DE nên ID = GA = GE
- Vậy, ta đã chứng minh được ID = GA = GE.