Cho tam giác ABN vuông tại A (AB < AN), đường cao AH. Chứng minh: ΔABH ∽ ΔNBA, từ đó suy ra AB² = BH.BN. Vẽ HE vuông AN tại E, HD vuông AB tại D. Chứng minh HE.AN = DR.HN. Vẽ tai AI vuông DE tại I. Đường thẳng DE cắt AH và BN lầm lượt tại O và S. Chứng minh DE² = 4OS. OI

a. Ta có:
$\angle ABH = \angle NBA$ (cùng bằng $\angle BAH$ vì $\triangle ABH$ và $\triangle NBA$ vuông cân tại A)
$\angle BHA = \angle ANB$ (vuông góc)
Vậy $\triangle ABH \sim \triangle NBA$ (theo góc - góc)
Từ đó, ta có $\frac{AB}{BH} = \frac{BN}{BA}$, suy ra $AB^2 = BH \cdot BN$

b. Ta có:
$\triangle AHE \sim \triangle ANB$ (theo góc - góc)
$\triangle AHD \sim \triangle ANB$ (theo góc - góc)
Vậy $\frac{HE}{AN} = \frac{DR}{HN}$ (do $\triangle AHE \sim \triangle ANB$ và $\triangle AHD \sim \triangle ANB$)

c. Ta có:
$\triangle ADE \sim \triangle ANB$ (theo góc - góc)
Vậy $\frac{DE}{AN} = \frac{OS}{HS}$ (do $\triangle ADE \sim \triangle ANB$ và $OS = HS$)
Tương tự, ta có $\frac{DE}{AN} = \frac{OI}{HI}$
Do đó, $DE^2 = 4OS \cdot OI$