a) Ta có AM và BM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên theo tính chất của tiếp tuyến và tiếp điểm, ta có \( \angle OAM = \angle OBM = 90^\circ \). Do đó, tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra bốn điểm M, A, O, B thuộc cùng một đường tròn.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MO tại I và đường thẳng OB. Ta có \( \angle MOE = 90^\circ \) (do OE vuông góc với MO), từ đó suy ra tứ giác OMEB là tứ giác nội tiếp. Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác OMEB, ta có:
\[ OM \times EB = OE \times MB + ME \times OB \]
Vì ME = MI = \( \frac{1}{2} MO \), nên ta có:
\[ OM \times EB = OE \times R + \frac{1}{2} MO \times R \]
\[ \Rightarrow OM \times EB = R(OE + \frac{1}{2} MO) \]
\[ \Rightarrow OM \times EB = \frac{3}{2} R \times OE \]
Do đó, \( OB \times OE = \frac{1}{2} OM^2 \).

c) Ta có \( \angle COI = \angle MOI = 90^\circ \) nên tứ giác COIM là tứ giác nội tiếp. Khi đó, ta có:
\[ \angle IME = \angle ICO \] (cùng chắn cung IO trên đường tròn)
\[ \angle ICE = \angle IMO \] (cùng chắn cung MO trên đường tròn)
Do đó, ta có △IME đồng dạng với △COI và CE vuông góc với MD.