Cho hàm số y = x³ + 3mx² + (m+1)x + 1. Gọi A là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x= -1. Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến A là lớn nhất

Để tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ là lớn nhất, ta cần tìm phương trình của tiếp tuyến Δ tại điểm có hoành độ x = -1.

Đạo hàm của hàm số y = x³ + 3mx² + (m+1)x + 1 là y' = 3x² + 6mx + (m+1).

Để tìm phương trình của tiếp tuyến Δ tại điểm có hoành độ x = -1, ta cần tính giá trị của y' tại x = -1:

y'(-1) = 3(-1)² + 6m(-1) + (m+1) = 3 - 6m + m + 1 = 4 - 5m.

Để tiếp tuyến Δ đi qua điểm có hoành độ x = -1, ta cần giải hệ phương trình:

1. Phương trình đường tiếp tuyến: y - y(-1) = y'(-1)(x - (-1)).

2. Điểm có hoành độ x = -1: (-1, f(-1)).

Thay x = -1 vào hàm số ta được f(-1) = (-1)³ + 3m(-1)² + (m+1)(-1) + 1 = -1 - 3m - m + 1 = 2 - 4m.

Thay vào phương trình đường tiếp tuyến ta có:

y - (2 - 4m) = (4 - 5m)(x + 1).

Để tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ là lớn nhất, ta cần tìm giá trị của m sao cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với tiếp tuyến Δ.

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với tiếp tuyến Δ có phương trình dạng y = kx, với k là hệ số góc của đường thẳng.

Để đường thẳng này vuông góc với tiếp tuyến Δ, ta cần có tích vô hướng của vector đạo hàm của hàm số và vector đạo hàm của đường thẳng bằng 0:

(3, 6m) . (0, k) = 0.

3 * 0 + 6m * k = 0.

6mk = 0.

k = 0 hoặc m = 0.

Với k = 0, đường thẳng sẽ trùng với trục hoành và không cắt tiếp tuyến Δ tại điểm có hoành độ x = -1.

Với m = 0, ta có phương trình tiếp tuyến Δ là y = 4(x + 1) + 2, tức là y = 4x + 6.

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến Δ là |6| = 6, lớn nhất.

Vậy, m = 0 là giá trị cần tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ là lớn nhất.