Chứng minh A là trung điểm PH

a) Ta có tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC do góc HAB = góc HAC (cùng bằng 90 độ) và góc BHA = góc CHA (cùng bằng 90 độ).

Khi đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác đó là:
\[\frac{HA}{HC} = \frac{HB}{HA}\]
Từ đó suy ra:
\[HA^2 = HB \cdot HC\]

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH. Kẻ đường thẳng m qua C và vuông góc với BI, m cắt BI tại K và cắt HA tại P.

Ta có:
\[\angle PCI = \angle BCI = 90^\circ\]
Và:
\[\angle PHK = \angle BHI = 90^\circ\]

Do đó, ta có:
\[\angle PCI = \angle PHK\]

Gọi x = PI, y = PK, z = PC. Ta có:
\[PI \cdot H = PK \cdot PC \Leftrightarrow x \cdot H = y \cdot z\]

c) Ta cần chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng PH.

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AH nên ta có:
\[PI = IH\]
Và do tam giác HPI đồng dạng với tam giác HAC (do cùng có góc vuông tại H), nên ta có:
\[\frac{PI}{HA} = \frac{HI}{HC}\]
\[PI = \frac{1}{2} \cdot HA\]

Tương tự, ta có:
\[PK = \frac{1}{2} \cdot HC\]

Vậy ta có:
\[PI = PK\]

Do đó, A là trung điểm của đoạn thẳng PH.