Cho tam giác \( AMNP \) vuông tại \( M \). Đường cao \( MH = 12 \) cm, trung tuyến \( MK \). Tỉ số \( \frac{HN}{HP} = \frac{4}{9} \). Kẻ \( HA \) vuông góc với \( MN \), \( HB \) vuông góc với \( MP \).

**a) Chứng minh \( MA \cdot MN = MB \cdot MP \).**

Ta có \( \triangle AMH \) và \( \triangle BMH \) vuông tại \( H \), nên:
\[ HA \perp MN \]
\[ HB \perp MP \]

Do đó, \( HA \) và \( HB \) là các đường cao của các tam giác vuông \( AMH \) và \( BMH \). Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ MA \cdot MN = MH^2 \]
\[ MB \cdot MP = MH^2 \]

Vì \( MH \) là đường cao chung, nên:
\[ MA \cdot MN = MB \cdot MP \]

**b) Qua \( A \) và \( B \) kẻ các đường thẳng vuông góc với \( AB \), cắt \( NP \) lần lượt tại \( F \) và \( E \). Chứng minh \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( HP \) và \( HN \).**

Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( A \) và \( B \) với \( NP \).

Xét tam giác \( HNP \) vuông tại \( H \), ta có:
\[ \frac{HN}{HP} = \frac{4}{9} \]

Do đó, \( H \) chia \( NP \) thành hai đoạn tỉ lệ \( 4:9 \). Gọi \( E \) là trung điểm của \( HP \) và \( F \) là trung điểm của \( HN \).

Ta có:
\[ HE = \frac{HP}{2} \]
\[ HF = \frac{HN}{2} \]

Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( HP \) và \( HN \), nên:
\[ E \text{ và } F \text{ lần lượt là trung điểm của } HP \text{ và } HN. \]

**c) Chứng minh \( MK \) song song với \( BE \).**

Ta có \( MK \) là trung tuyến của tam giác vuông \( AMNP \), nên \( K \) là trung điểm của \( NP \).

Do \( E \) là trung điểm của \( HP \) và \( F \) là trung điểm của \( HN \), ta có:
\[ \frac{HE}{HP} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{HF}{HN} = \frac{1}{2} \]

Vì \( K \) là trung điểm của \( NP \), nên:
\[ MK \parallel BE \]

**d) Tính diện tích của tứ giác \( ABEF \).**

Diện tích của tứ giác \( ABEF \) bằng tổng diện tích của hai tam giác \( ABE \) và \( BEF \).

Xét tam giác \( ABE \):
\[ \text{Diện tích} \triangle ABE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot HE \]

Xét tam giác \( BEF \):
\[ \text{Diện tích} \triangle BEF = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot HF \]

Tổng diện tích của tứ giác \( ABEF \) là:
\[ \text{Diện tích} ABEF = \text{Diện tích} \triangle ABE + \text{Diện tích} \triangle BEF \]

Do \( HE = \frac{HP}{2} \) và \( HF = \frac{HN}{2} \), ta có:
\[ \text{Diện tích} ABEF = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{HP}{2} + \frac{1}{2} \cdot BE \cdot \frac{HN}{2} \]

Vì \( \frac{HN}{HP} = \frac{4}{9} \), ta có:
\[ \text{Diện tích} ABEF = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{HP}{2} + \frac{1}{2} \cdot BE \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{HP}{2} \]

Tính toán cụ thể diện tích sẽ phụ thuộc vào độ dài cụ thể của các đoạn \( AB \), \( BE \), và \( HP \).