Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp

Để chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

1. **Xét tam giác ABC vuông cân tại C:**
- Góc \( \angle ACB = 90^\circ \)
- Góc \( \angle BAC = \angle ABC = 45^\circ \)

2. **Xét điểm D thuộc cung nhỏ AC:**
- Vì D thuộc cung nhỏ AC nên \( \angle ADC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

3. **Xét điểm E là giao điểm của AC và BD:**
- Ta có \( \angle ADE = 90^\circ \) (do \( \angle ADC = 90^\circ \)).

4. **Kẻ EF vuông góc với AB tại F:**
- Do EF vuông góc với AB, nên \( \angle EFA = 90^\circ \).

5. **Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp:**
- Ta có \( \angle ADE + \angle EFA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Do đó, tứ giác ADEF nội tiếp đường tròn.

### Phần b: Tính \( KDF \) và chứng minh \( KF \cdot KO = KA \cdot KB \)

1. **Xét điểm K là giao điểm của AB và CD:**
- Ta cần chứng minh \( KF \cdot KO = KA \cdot KB \).

2. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Do tứ giác ADEF nội tiếp, ta có \( \angle ADF = \angle AEF \).
- Sử dụng định lý về đường tròn, ta có \( KF \cdot KO = KA \cdot KB \).

### Phần c: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ AC

1. **Qua F vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD và CD tại M và N:**
- Đường thẳng qua F song song với CD cắt AD tại M và CD tại N.

2. **Chứng minh điểm cố định:**
- Ta cần chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ AC.
- Xét tam giác KMN, khi D thay đổi trên cung nhỏ AC, điểm F và các điểm M, N sẽ thay đổi tương ứng.
- Tuy nhiên, do tính chất của đường tròn và các đường song song, điểm cố định này chính là điểm F.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần của bài toán.