Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện: chia 3 dư 1, chia 5 dư 3, chia 7 dư 5, ta có thể sử dụng phương pháp đồng dư và hệ phương trình đồng dư.

Gọi số tự nhiên cần tìm là \( x \). Ta có các phương trình đồng dư sau:
1. \( x \equiv 1 \pmod{3} \)
2. \( x \equiv 3 \pmod{5} \)
3. \( x \equiv 5 \pmod{7} \)

Bước 1: Tìm \( x \) thỏa mãn hai phương trình đầu tiên:
- Từ \( x \equiv 1 \pmod{3} \), ta có: \( x = 3k + 1 \) với \( k \) là số nguyên.
- Thay vào phương trình thứ hai: \( 3k + 1 \equiv 3 \pmod{5} \)
\[
3k + 1 \equiv 3 \pmod{5}
\]
\[
3k \equiv 2 \pmod{5}
\]
Để giải phương trình này, ta tìm \( k \) sao cho \( 3k \equiv 2 \pmod{5} \). Ta thử các giá trị của \( k \):
- \( k = 1 \): \( 3 \cdot 1 = 3 \not\equiv 2 \pmod{5} \)
- \( k = 2 \): \( 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \)
- \( k = 3 \): \( 3 \cdot 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( k = 4 \): \( 3 \cdot 4 = 12 \equiv 2 \pmod{5} \)

Vậy \( k \equiv 4 \pmod{5} \), tức là \( k = 5m + 4 \) với \( m \) là số nguyên.

Thay \( k = 5m + 4 \) vào \( x = 3k + 1 \):
\[
x = 3(5m + 4) + 1 = 15m + 12 + 1 = 15m + 13
\]
Vậy \( x \equiv 13 \pmod{15} \).

Bước 2: Tìm \( x \) thỏa mãn cả ba phương trình:
- Từ \( x \equiv 13 \pmod{15} \), ta có: \( x = 15n + 13 \) với \( n \) là số nguyên.
- Thay vào phương trình thứ ba: \( 15n + 13 \equiv 5 \pmod{7} \)
\[
15n + 13 \equiv 5 \pmod{7}
\]
\[
15n \equiv -8 \pmod{7}
\]
\[
15n \equiv -1 \pmod{7} \quad (vì -8 \equiv -1 \pmod{7})
\]
\[
15n \equiv 6 \pmod{7} \quad (vì -1 \equiv 6 \pmod{7})
\]
\[
15 \equiv 1 \pmod{7} \quad (vì 15 = 2 \cdot 7 + 1)
\]
\[
1n \equiv 6 \pmod{7}
\]
\[
n \equiv 6 \pmod{7}
\]
Tức là \( n = 7p + 6 \) với \( p \) là số nguyên.

Thay \( n = 7p + 6 \) vào \( x = 15n + 13 \):
\[
x = 15(7p + 6) + 13 = 105p + 90 + 13 = 105p + 103
\]

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện là \( x = 103 \).