Để tính \(\sin 2a\) và \(\tan 2a\) khi biết \(\cos a = \frac{1}{4}\) và \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \), ta cần sử dụng các công thức lượng giác và tính toán các giá trị cần thiết.

1. **Tìm \(\sin a\)**:
- Ta biết rằng \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\).
- Do đó, \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\).
- Vì \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \), \(a\) nằm trong góc phần tư thứ tư, nơi \(\sin a\) âm.
- Vậy, \(\sin a = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}\).

2. **Tính \(\sin 2a\)**:
- Sử dụng công thức \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\).
- Thay các giá trị đã biết vào: \(\sin 2a = 2 \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = 2 \left(-\frac{\sqrt{15}}{16}\right) = -\frac{\sqrt{15}}{8}\).

3. **Tính \(\tan 2a\)**:
- Sử dụng công thức \(\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}\).
- Đầu tiên, ta cần tính \(\tan a\):
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}.
\]
- Sau đó, thay vào công thức \(\tan 2a\):
\[
\tan 2a = \frac{2 \left(-\sqrt{15}\right)}{1 - \left(-\sqrt{15}\right)^2} = \frac{2 \left(-\sqrt{15}\right)}{1 - 15} = \frac{-2\sqrt{15}}{-14} = \frac{\sqrt{15}}{7}.
\]

Vậy, \(\sin 2a = -\frac{\sqrt{15}}{8}\) và \(\tan 2a = \frac{\sqrt{15}}{7}\).