Để xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \( f(x) = \sqrt{2x-1} - \sqrt{3-x} \), ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Xác định tập xác định của hàm số
Hàm số \( f(x) = \sqrt{2x-1} - \sqrt{3-x} \) chỉ xác định khi các biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là:
\[ 2x - 1 \geq 0 \]
\[ 3 - x \geq 0 \]

Giải các bất phương trình này:
\[ 2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2} \]
\[ 3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \]

Do đó, tập xác định của hàm số là:
\[ D = \left[ \frac{1}{2}, 3 \right] \]

### 2. Tính đạo hàm của hàm số
Để xét tính đồng biến và nghịch biến, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \):
\[ f(x) = \sqrt{2x-1} - \sqrt{3-x} \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm căn:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x-1} \right) - \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3-x} \right) \]

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm căn:
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \]

Ta có:
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x-1} \right) = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3-x} \right) = \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} \]

Do đó:
\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} - \left( -\frac{1}{2\sqrt{3-x}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \]

### 3. Xét dấu của đạo hàm
Để xét tính đồng biến và nghịch biến, ta cần xét dấu của \( f'(x) \) trên khoảng \( \left[ \frac{1}{2}, 3 \right] \).

- Khi \( x \) thuộc khoảng \( \left( \frac{1}{2}, 3 \right) \), cả hai biểu thức \( \sqrt{2x-1} \) và \( \sqrt{3-x} \) đều dương. Do đó, \( f'(x) \) là tổng của hai số dương:
\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{3-x}} > 0 \]

Điều này cho thấy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( \left( \frac{1}{2}, 3 \right) \), tức là hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng này.

### 4. Kết luận
Hàm số \( f(x) = \sqrt{2x-1} - \sqrt{3-x} \) đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{1}{2}, 3 \right) \).