a) Ta có:
- NN là trung trực của AB nên AN = NB.
- NM là đường cao của tam giác ABC nên ANNM là hình bình hành.
- Vì ABC là tam giác vuông tại B nên AB = BC.
- Do đó, AANM = ABNM.

Tiếp theo, ta chứng minh M là trung điểm của AC:
- Vì NM là đường cao của tam giác ABC nên AM = MC.

Vậy ta đã chứng minh được AANM = ABNM và M là trung điểm của AC.

b) Ta đã chứng minh M là trung điểm của AC. Đồng thời, vì đường thẳng d là trung trực của AB, nên N là trung điểm của AB.
- Vậy NM = NB.

Giả sử E cách đều MB và BC. Khi đó, ta có EM = MB và BE = EC.
- Vì I là trung điểm của ME nên IM = IE.

Vậy ta chứng minh được điểm E cách đều MB và BC.

c) Để chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng, ta cần chứng minh CD // ME.

Vì ED = EB, nên tam giác EBD là tam giác đều, do đó, góc EDB = 60°.
- Ta có góc MED = 90° - góc MEB = 90° - 30° = 60°.
- Vậy ta có ME // BD.

Khi đó, ta thấy rằng I là trung điểm của ME, nên ba điểm C, D, I thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được ba điểm C, D, I thẳng hàng.