Để chứng minh tứ giác \( SPID \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \( S, P, I, D \) cùng nằm trên một đường tròn. Ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp để chứng minh điều này.

1. **Tính chất của các tiếp điểm và các đường thẳng liên quan:**
- \( D, E, F \) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \( (I) \) với các cạnh \( BC, CA, AB \).
- \( S \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \).
- \( P \) là giao điểm của \( AD \) với đường tròn nội tiếp \( (I) \).

2. **Chứng minh các góc bằng nhau:**
- Ta biết rằng \( AD \) là đường phân giác của góc \( \angle BAC \) và \( D \) là tiếp điểm của \( (I) \) với \( BC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của cung \( BC \) không chứa \( A \) trên đường tròn ngoại tiếp \( (O) \). Khi đó, \( M \) cũng là trung điểm của cung \( BC \) chứa \( A \) trên đường tròn nội tiếp \( (I) \).

3. **Xét các góc:**
- Vì \( P \) là giao điểm của \( AD \) với \( (I) \), nên \( \angle API = \angle ADI \).
- Ta có \( \angle ADS = \angle ADF \) do \( D \) là tiếp điểm và \( AD \) là đường phân giác.

4. **Sử dụng tính chất của các góc:**
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle SPD + \angle SID = 180^\circ \).
- Xét tứ giác \( SPID \), ta có:
\[
\angle SPD = \angle API
\]
và
\[
\angle SID = \angle AID
\]
- Vì \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp, nên \( \angle AID = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle BAC \).

5. **Kết luận:**
- Tổng các góc \( \angle SPD + \angle SID \) bằng \( 180^\circ \) do:
\[
\angle SPD = \angle API = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC
\]
và
\[
\angle SID = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle BAC
\]
- Do đó, \( \angle SPD + \angle SID = (90^\circ - \frac{1}{2} \angle BAC) + (90^\circ + \frac{1}{2} \angle BAC) = 180^\circ \).

Vậy, tứ giác \( SPID \) nội tiếp trong một đường tròn.