Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và công thức lượng giác trong tam giác vuông.

**a. Chứng minh rằng: \( AH = a \sin B \cos B \); \( BH = a \cos^2 B \); \( CH = a \sin^2 B \)**

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), do đó \( \angle BAC = 90^\circ \).

1. **Chứng minh \( AH = a \sin B \cos B \)**:

Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} \quad \text{và} \quad \cos B = \frac{AB}{BC}
\]
Đường cao \( AH \) từ \( A \) vuông góc với \( BC \), do đó:
\[
AH = AB \sin B = AC \cos B
\]
Nhưng \( AB = BC \cos B \) và \( AC = BC \sin B \), do đó:
\[
AH = BC \cos B \sin B = a \cos B \sin B
\]
Vậy:
\[
AH = a \sin B \cos B
\]

2. **Chứng minh \( BH = a \cos^2 B \)**:

Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
BH = AB \cos B
\]
Nhưng \( AB = BC \cos B \), do đó:
\[
BH = BC \cos^2 B = a \cos^2 B
\]

3. **Chứng minh \( CH = a \sin^2 B \)**:

Tương tự, trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
CH = AC \sin B
\]
Nhưng \( AC = BC \sin B \), do đó:
\[
CH = BC \sin^2 B = a \sin^2 B
\]

**b. Suy ra \( AB^2 = BC \cdot BH \); \( AH^2 = BH \cdot HC \)**

1. **Chứng minh \( AB^2 = BC \cdot BH \)**:

Ta đã biết:
\[
BH = a \cos^2 B
\]
và \( AB = BC \cos B \), do đó:
\[
AB^2 = (BC \cos B)^2 = BC^2 \cos^2 B
\]
Mà \( BC \cdot BH = BC \cdot a \cos^2 B = BC^2 \cos^2 B \), do đó:
\[
AB^2 = BC \cdot BH
\]

2. **Chứng minh \( AH^2 = BH \cdot HC \)**:

Ta đã biết:
\[
AH = a \sin B \cos B
\]
và \( BH = a \cos^2 B \), \( CH = a \sin^2 B \), do đó:
\[
AH^2 = (a \sin B \cos B)^2 = a^2 \sin^2 B \cos^2 B
\]
Mà \( BH \cdot CH = a \cos^2 B \cdot a \sin^2 B = a^2 \sin^2 B \cos^2 B \), do đó:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết.