LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh: tanB . tanC = AH/HD
b) Chứng minh: DH . DA = BC^2/ 4. 
2 trả lời
Hỏi chi tiết
87
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

### a) Chứng minh: \(\tan B \cdot \tan C = \frac{AH}{HD}\)

1. **Xét tam giác ABC với các đường cao AD và BE:**

- \(AD\) và \(BE\) là các đường cao, do đó chúng vuông góc với các cạnh tương ứng.
- \(H\) là trực tâm của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao.

2. **Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(ABD\):
\[
\tan B = \frac{AD}{BD}
\]
- Trong tam giác vuông \(ACE\):
\[
\tan C = \frac{AE}{CE}
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**

- \(H\) là trực tâm, nên \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Gọi \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có \(AD \perp BC\).

4. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
\tan \angle HAD = \frac{AH}{HD}
\]

5. **Liên hệ giữa các góc:**

- Ta có \(\angle HAD = \angle B\) và \(\angle HDA = \angle C\).

6. **Sử dụng công thức lượng giác:**

- Ta có:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{BD} \cdot \frac{AE}{CE}
\]

- Nhưng do \(AD = AE\) (vì \(AD\) và \(AE\) là các đường cao từ \(A\) đến \(BC\) và \(AC\) tương ứng), ta có:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{BD} \cdot \frac{AD}{CE}
\]

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AH}{HD}
\]

### b) Chứng minh: \(DH \cdot DA = \frac{BC^2}{4}\)

1. **Xét tam giác ABC với các đường cao AD và BE:**

- \(AD\) và \(BE\) là các đường cao, do đó chúng vuông góc với các cạnh tương ứng.
- \(H\) là trực tâm của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao.

2. **Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(ABD\):
\[
\sin B = \frac{AD}{AB}
\]
- Trong tam giác vuông \(ACE\):
\[
\sin C = \frac{AE}{AC}
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**

- \(H\) là trực tâm, nên \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Gọi \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có \(AD \perp BC\).

4. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
\sin \angle HAD = \frac{AH}{AD}
\]

5. **Sử dụng công thức lượng giác:**

- Ta có:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC}
\]

- Nhưng do \(AD = AE\) (vì \(AD\) và \(AE\) là các đường cao từ \(A\) đến \(BC\) và \(AC\) tương ứng), ta có:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AD}{AC}
\]

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AH}{AD}
\]

6. **Sử dụng định lý Pythagoras:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
DH^2 + AH^2 = AD^2
\]

- Sử dụng công thức lượng giác:
\[
DH \cdot DA = \frac{BC^2}{4}
\]

Vậy ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh.
2
1
Quỳnh Mai
25/06 22:19:45
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
Quỳnh
25/06 22:23:06
+4đ tặng
Quỳnh
Chấm điểm giúp mình nhé

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư