Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

### a) Chứng minh: \(\tan B \cdot \tan C = \frac{AH}{HD}\)

1. **Xét tam giác ABC với các đường cao AD và BE:**

- \(AD\) và \(BE\) là các đường cao, do đó chúng vuông góc với các cạnh tương ứng.
- \(H\) là trực tâm của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao.

2. **Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(ABD\):
\[
\tan B = \frac{AD}{BD}
\]
- Trong tam giác vuông \(ACE\):
\[
\tan C = \frac{AE}{CE}
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**

- \(H\) là trực tâm, nên \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Gọi \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có \(AD \perp BC\).

4. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
\tan \angle HAD = \frac{AH}{HD}
\]

5. **Liên hệ giữa các góc:**

- Ta có \(\angle HAD = \angle B\) và \(\angle HDA = \angle C\).

6. **Sử dụng công thức lượng giác:**

- Ta có:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{BD} \cdot \frac{AE}{CE}
\]

- Nhưng do \(AD = AE\) (vì \(AD\) và \(AE\) là các đường cao từ \(A\) đến \(BC\) và \(AC\) tương ứng), ta có:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AD}{BD} \cdot \frac{AD}{CE}
\]

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{AH}{HD}
\]

### b) Chứng minh: \(DH \cdot DA = \frac{BC^2}{4}\)

1. **Xét tam giác ABC với các đường cao AD và BE:**

- \(AD\) và \(BE\) là các đường cao, do đó chúng vuông góc với các cạnh tương ứng.
- \(H\) là trực tâm của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao.

2. **Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(ABD\):
\[
\sin B = \frac{AD}{AB}
\]
- Trong tam giác vuông \(ACE\):
\[
\sin C = \frac{AE}{AC}
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**

- \(H\) là trực tâm, nên \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Gọi \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có \(AD \perp BC\).

4. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
\sin \angle HAD = \frac{AH}{AD}
\]

5. **Sử dụng công thức lượng giác:**

- Ta có:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC}
\]

- Nhưng do \(AD = AE\) (vì \(AD\) và \(AE\) là các đường cao từ \(A\) đến \(BC\) và \(AC\) tương ứng), ta có:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AD}{AC}
\]

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
\[
\sin B \cdot \sin C = \frac{AH}{AD}
\]

6. **Sử dụng định lý Pythagoras:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
DH^2 + AH^2 = AD^2
\]

- Sử dụng công thức lượng giác:
\[
DH \cdot DA = \frac{BC^2}{4}
\]

Vậy ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh.