Để phân tích đa thức \( x^3 + x^2 + x \) thành nhân tử, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Nhận diện nhân tử chung**:
Ta thấy rằng tất cả các hạng tử trong đa thức đều có chứa \( x \). Do đó, \( x \) là nhân tử chung.

2. **Phân tích nhân tử chung**:
Ta có thể đặt \( x \) ra ngoài dấu ngoặc:
\[
x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)
\]

3. **Kiểm tra đa thức còn lại**:
Đa thức còn lại bên trong dấu ngoặc là \( x^2 + x + 1 \). Ta cần kiểm tra xem có thể phân tích tiếp được hay không.

Để phân tích \( x^2 + x + 1 \), ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
với \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 1 \).

Công thức nghiệm là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Thay các giá trị vào, ta có:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Vì nghiệm của phương trình là số phức, nên \( x^2 + x + 1 \) không thể phân tích thành nhân tử trong tập số thực.

Do đó, đa thức \( x^3 + x^2 + x \) đã được phân tích thành nhân tử là:
\[
x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)
\]