Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**Phần a: Chứng minh tam giác AMH đồng dạng với tam giác AHB**

Xét tam giác AMH và tam giác AHB:
- Góc \( \angle AMH \) và \( \angle AHB \) đều bằng \( 90^\circ \) (do \( HM \perp AB \) và \( AH \perp BC \)).
- Góc \( \angle AHM \) là góc chung của hai tam giác AMH và AHB.

Vậy, theo trường hợp góc - góc (AA), ta có:
\[ \triangle AMH \sim \triangle AHB \]

**Phần b: Chứng minh \( AN \cdot AC = AH^2 \)**

Xét tam giác \( AHC \) và tam giác \( ANH \):
- Góc \( \angle AHC \) và \( \angle ANH \) đều bằng \( 90^\circ \) (do \( AH \perp BC \) và \( HN \perp AC \)).
- Góc \( \angle HAC \) là góc chung của hai tam giác AHC và ANH.

Vậy, theo trường hợp góc - góc (AA), ta có:
\[ \triangle AHC \sim \triangle ANH \]

Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng:
\[ \frac{AH}{AC} = \frac{AN}{AH} \]

Suy ra:
\[ AH^2 = AN \cdot AC \]

**Phần c: Chứng minh \( \angle AEF = \angle ABC \)**

Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( AEF \):
- \( BD \) là đường cao của tam giác \( ABD \), do đó \( BD \perp AC \).
- \( E \) là giao điểm của \( BD \) và \( AH \), do đó \( E \) nằm trên \( AH \).
- \( DF \parallel MN \), do đó \( \angle ADF = \angle AMN \).

Xét tam giác \( AMN \) và tam giác \( ADF \):
- \( \angle AMN = \angle ADF \) (do \( DF \parallel MN \)).
- \( \angle MAN = \angle DAF \) (cùng là góc tại đỉnh A).

Vậy, theo trường hợp góc - góc (AA), ta có:
\[ \triangle AMN \sim \triangle ADF \]

Do đó:
\[ \angle AEF = \angle ABC \]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.