Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} \) với \( abc > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (hay còn gọi là bất đẳng thức TrêBưSep).

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng tổng quát là:
\[ (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \]

Áp dụng bất đẳng thức này với \( x_1 = \frac{1}{a}, x_2 = \frac{1}{b}, x_3 = \frac{1}{c} \) và \( y_1 = a, y_2 = b, y_3 = c \), ta có:
\[ \left( \left( \frac{1}{a} \right)^2 + \left( \frac{1}{b} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 \right) (a^2 + b^2 + c^2) \geq \left( \frac{1}{a} \cdot a + \frac{1}{b} \cdot b + \frac{1}{c} \cdot c \right)^2 \]

### Bước 2: Đơn giản hóa bất đẳng thức

Ta biết rằng:
\[ \frac{1}{a} \cdot a + \frac{1}{b} \cdot b + \frac{1}{c} \cdot c = 1 + 1 + 1 = 3 \]

Do đó, bất đẳng thức trở thành:
\[ \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) \geq 3^2 \]
\[ \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \cdot \frac{5}{3} \geq 9 \]

### Bước 3: Tính toán và suy ra kết quả

Chia cả hai vế cho \(\frac{5}{3}\):
\[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq \frac{27}{5} \]

### Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức AM-HM

Áp dụng bất đẳng thức AM-HM (Trung bình cộng - Trung bình điều hòa) cho các số dương \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \):
\[ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \]

Do đó:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \]

### Bước 5: Kết luận

Từ bất đẳng thức trên, ta có:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} \]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} \) với \( abc > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \).