Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\
y - x = 9
\end{cases}
\]

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
y = x + 9
\]

2. Thay \(y = x + 9\) vào phương trình thứ nhất:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6}
\]

3. Quy đồng mẫu số và giải phương trình:

\[
\frac{x + 9 + x}{x(x + 9)} = \frac{1}{6}
\]

\[
\frac{2x + 9}{x(x + 9)} = \frac{1}{6}
\]

4. Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
6(2x + 9) = x(x + 9)
\]

\[
12x + 54 = x^2 + 9x
\]

5. Chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình để tạo thành phương trình bậc hai:

\[
x^2 + 9x - 12x - 54 = 0
\]

\[
x^2 - 3x - 54 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 3x - 54 = 0\) bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = -54\):

\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}
\]

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2}
\]

\[
x = \frac{3 \pm 15}{2}
\]

Do đó, ta có hai nghiệm:

\[
x = \frac{3 + 15}{2} = 9 \quad \text{và} \quad x = \frac{3 - 15}{2} = -6
\]

7. Tìm giá trị tương ứng của \(y\) cho từng giá trị của \(x\):

- Nếu \(x = 9\):

\[
y = x + 9 = 9 + 9 = 18
\]

- Nếu \(x = -6\):

\[
y = x + 9 = -6 + 9 = 3
\]

Vậy, các cặp nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (9, 18) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-6, 3)
\]