Cho đường tròn (O;R) và M ở ngoài (O;R). Biết OM=2R. Vẽ tiếp tuyến MA, MB với (O). Lấy I ∈ cung AB, vẽ tiếp tuyến tại I cắt MA, MB tại P, Q

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Vẽ hình
1. Vẽ đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R.
2. Vẽ các tiếp tuyến MA và MB từ M đến đường tròn (O). Gọi A và B là các tiếp điểm.
3. Lấy điểm I nằm trên cung AB không chứa M.
4. Vẽ tiếp tuyến tại I, cắt MA tại P và MB tại Q.

### Bước 2: Tính độ dài MA, MB theo R
Do MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), ta có:
\[ MA = MB \]

Tam giác OMA là tam giác vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến và OA là bán kính, vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc).

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OMA:
\[ OM^2 = OA^2 + MA^2 \]
\[ (2R)^2 = R^2 + MA^2 \]
\[ 4R^2 = R^2 + MA^2 \]
\[ MA^2 = 3R^2 \]
\[ MA = \sqrt{3}R \]

Vậy:
\[ MA = MB = \sqrt{3}R \]

### Bước 3: Chứng minh chu vi tam giác MPQ = 2MA
1. Vì MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), nên MA = MB.
2. Tiếp tuyến tại I cắt MA tại P và MB tại Q. Do đó, PI và QI cũng là các tiếp tuyến từ P và Q đến đường tròn (O).

Ta có:
\[ PI = PQ = QI \]

3. Xét tam giác MPQ:
- PI và QI là các tiếp tuyến từ P và Q đến đường tròn (O), nên PI = QI.
- Do đó, tam giác PIQ là tam giác cân tại I.

4. Chu vi tam giác MPQ:
\[ MP + PQ + QP = MP + PQ + PQ \]
\[ = MP + 2PQ \]

5. Vì MA = MB và MA = MB = \sqrt{3}R, nên:
\[ MP = MA - PA \]
\[ MQ = MB - QB \]

6. Do PI và QI là các tiếp tuyến từ P và Q đến đường tròn (O), nên PI = QI = R.

7. Tổng độ dài các đoạn thẳng:
\[ MP + PQ + QP = MA + MB \]
\[ = \sqrt{3}R + \sqrt{3}R \]
\[ = 2\sqrt{3}R \]

Vậy chu vi tam giác MPQ là:
\[ 2MA = 2\sqrt{3}R \]

### Kết luận:
Chu vi tam giác MPQ bằng 2 lần độ dài của MA.

### Hình vẽ minh họa:
```
M
/ \
/ \
/ \
/ \
A---------B
\ /
\ /
\ /
\ /
O
```

Trong hình vẽ, các điểm A, B, P, Q, I được xác định như đã mô tả ở trên.