Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt:

- Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12 cm.
- Đường tròn có tâm A và bán kính r = 13 cm.

**Chứng minh:**
- Đường thẳng xy có thể được coi như một đường thẳng nằm ngang. Ta có thể coi điểm A nằm trên một đường thẳng vuông góc với xy, cách đường thẳng này 12 cm.
- Khoảng cách từ A đến đường thẳng xy là 12 cm, trong khi bán kính của đường tròn là 13 cm.

- Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng xy (12 cm) so với bán kính của đường tròn (13 cm):
\[
r = 13 \text{ cm}
\]
\[
d = 12 \text{ cm}
\]

- Ta có: \( r > d \) (13 cm > 12 cm). Điều này có nghĩa là đường tròn sẽ cắt đường thẳng xy.

Hơn nữa, vì \( r \) và \( d \) khác nhau nên đường tròn sẽ cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

### b) Tính độ dài BC:

- Gọi B và C là hai giao điểm của đường tròn với đường thẳng xy.
- Ta cần tìm độ dài BC. Để tính độ dài này, ta sử dụng tính chất của hình học.

- Gọi O là điểm vuông góc từ điểm A xuống đường thẳng xy. Ta có AO = 12 cm.
- Độ dài đoạn BM và MC (trong đó M là trung điểm của BC) sẽ giữ công thức:
\[
OM^2 + BM^2 = AB^2
\]
- Với O là điểm cách A 12 cm. câu này có thể được viết lại là:
\[
12^2 + BM^2 = 13^2
\]

- Giải phương trình:
\[
144 + BM^2 = 169
\]
\[
BM^2 = 169 - 144 = 25
\]
\[
BM = 5 \text{ cm}
\]

Vì B và C là hai điểm đối xứng qua điểm O nên:
\[
BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
- Đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.
- Độ dài BC = 10 cm.