Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm, đối xứng và trọng tâm của tam giác.

### a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH

**Chứng minh:**

1. **Tính chất đối xứng qua trung điểm:**
- I là trung điểm của BC.
- T là điểm đối xứng của A qua I, do đó I cũng là trung điểm của AT.

2. **Tính chất trung điểm:**
- K là trung điểm của CA.
- H là trung điểm của AB.

3. **Tọa độ của các điểm:**
- Giả sử tọa độ của A, B, C lần lượt là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \).
- Tọa độ của I là trung điểm của BC: \( I \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \).
- Tọa độ của T là điểm đối xứng của A qua I: \( T \left( 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2} - x_1, 2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2} - y_1 \right) = (x_2 + x_3 - x_1, y_2 + y_3 - y_1) \).

4. **Trọng tâm của tam giác TKH:**
- Trọng tâm của tam giác TKH là điểm có tọa độ trung bình của các đỉnh T, K, H.
- Tọa độ của K là trung điểm của CA: \( K \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) \).
- Tọa độ của H là trung điểm của AB: \( H \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).
- Tọa độ của trọng tâm G của tam giác TKH là:
\[
G \left( \frac{x_T + x_K + x_H}{3}, \frac{y_T + y_K + y_H}{3} \right)
\]
\[
G \left( \frac{(x_2 + x_3 - x_1) + \frac{x_1 + x_3}{2} + \frac{x_1 + x_2}{2}}{3}, \frac{(y_2 + y_3 - y_1) + \frac{y_1 + y_3}{2} + \frac{y_1 + y_2}{2}}{3} \right)
\]
\[
G \left( \frac{x_2 + x_3 - x_1 + \frac{x_1 + x_3}{2} + \frac{x_1 + x_2}{2}}{3}, \frac{y_2 + y_3 - y_1 + \frac{y_1 + y_3}{2} + \frac{y_1 + y_2}{2}}{3} \right)
\]
\[
G \left( \frac{x_2 + x_3 - x_1 + \frac{x_1 + x_3 + x_1 + x_2}{2}}{3}, \frac{y_2 + y_3 - y_1 + \frac{y_1 + y_3 + y_1 + y_2}{2}}{3} \right)
\]
\[
G \left( \frac{x_2 + x_3 - x_1 + x_1 + x_3 + x_2}{6}, \frac{y_2 + y_3 - y_1 + y_1 + y_3 + y_2}{6} \right)
\]
\[
G \left( \frac{2x_2 + 2x_3}{6}, \frac{2y_2 + 2y_3}{6} \right)
\]
\[
G \left( \frac{x_2 + x_3}{3}, \frac{y_2 + y_3}{3} \right)
\]
\[
G = I
\]

Vậy I là trọng tâm của tam giác TKH.

### b) Chứng minh EF = 1/4 BC

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác TKH:**
- I là trọng tâm của tam giác TKH, do đó các đường nối từ trọng tâm đến các đỉnh chia tam giác thành 3 phần bằng nhau.

2. **Xét các đường trung tuyến:**
- HI và TK là các đường trung tuyến của tam giác TKH.
- E là giao điểm của HI và TK.
- F là giao điểm của KI và TH.

3. **Tính chất của trọng tâm:**
- Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.
- Do đó, E và F là các điểm chia các đoạn HI và KI theo tỉ lệ 2:1.

4. **Tính độ dài EF:**
- Vì I là trọng tâm của tam giác TKH, nên EF là đoạn nối các điểm chia các đoạn trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.
- Theo tính chất của trọng tâm, đoạn nối các điểm chia các đoạn trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 có độ dài bằng 1/4 độ dài của cạnh đối diện.

Vậy EF = 1/4 BC.

### c) Chứng minh M là trung điểm của CT

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác BF và CT:**
- F là giao điểm của KI và TH.
- M là giao điểm của BF và CT.

2. **Tính chất của trung điểm:**
- I là trung điểm của BC.
- T là điểm đối xứng của A qua I, do đó I cũng là trung điểm của AT.

3. **Xét tam giác BCT:**
- I là trung điểm của BC.
- T là điểm đối xứng của A qua I, do đó I cũng là trung điểm của AT.

4. **Tính chất của đường trung tuyến:**
- Đường trung tuyến từ B đến CT chia tam giác BCT thành hai tam giác bằng nhau.
- Do đó, M là trung điểm của CT.

Vậy M là trung điểm của CT.