S = 2016²⁰¹⁶ + 2016¹⁰⁰⁰ + 2016⁹⁹⁹ + ... + 2016² + 2016. Chứng minh S không là số chính phương

Để chứng minh \( S = 2016^{2016} + 2016^{1000} + 2016^{999} + \ldots + 2016^2 + 2016 \) không phải là số chính phương, ta sẽ phân tích tổng này theo một cách khác và sử dụng tính chất của số chính phương.

Trước hết, ta nhận thấy rằng tất cả các số hạng trong tổng \( S \) đều có dạng \( 2016^k \) với \( k \) là số nguyên dương. Ta có thể viết lại tổng này như sau:

\[ S = 2016 \left( 2016^{2015} + 2016^{999} + 2016^{998} + \ldots + 2016 + 1 \right) \]

Đặt \( T = 2016^{2015} + 2016^{999} + 2016^{998} + \ldots + 2016 + 1 \), ta có:

\[ S = 2016 \cdot T \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( S \) không phải là số chính phương. Giả sử ngược lại rằng \( S \) là số chính phương, tức là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho \( S = k^2 \).

Vì \( 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \), ta có:

\[ 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \]

Do đó, \( S = 2016 \cdot T \) có thể được viết lại dưới dạng:

\[ S = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot T \]

Để \( S \) là số chính phương, thì \( 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot T \) phải là số chính phương. Điều này có nghĩa là tích của các thừa số nguyên tố trong \( S \) phải có số mũ chẵn.

Xét các thừa số nguyên tố của \( 2016 \):

- \( 2^5 \): số mũ là 5 (lẻ)
- \( 3^2 \): số mũ là 2 (chẵn)
- \( 7 \): số mũ là 1 (lẻ)

Để \( 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot T \) là số chính phương, \( T \) phải chứa các thừa số nguyên tố sao cho khi nhân với \( 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \), tất cả các số mũ của các thừa số nguyên tố đều trở thành chẵn.

Tuy nhiên, \( T \) là tổng của các lũy thừa của \( 2016 \), và không có cách nào để \( T \) có thể chứa các thừa số nguyên tố \( 2 \) và \( 7 \) với số mũ lẻ để bù trừ cho các số mũ lẻ của \( 2^5 \) và \( 7 \) trong \( 2016 \).

Do đó, \( S \) không thể là số chính phương vì không thể có cách nào để tất cả các số mũ của các thừa số nguyên tố trong \( S \) đều trở thành chẵn.

Vậy, \( S \) không phải là số chính phương.