Để chứng minh các phần của bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao.

### Phần a: Chứng minh \( \frac{AF}{AK} = \frac{AH}{AD} \)

1. **Xét tam giác \( ADF \) và \( ADK \)**:
- \( \angle ADF = \angle ADK = 90^\circ \) (do \( AD \) là đường cao).
- \( AD \) là cạnh chung.

2. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \( ADF \), \( AF \) là đoạn thẳng từ đỉnh \( A \) đến chân đường cao \( F \).
- Trong tam giác vuông \( ADK \), \( AK \) là đoạn thẳng từ đỉnh \( A \) đến chân đường cao \( K \).

3. **Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông**:
- Ta có: \( \frac{AF}{AK} = \frac{AH}{AD} \).

### Phần b: Chứng minh \( EF \parallel AN \)

1. **Xét tam giác \( ABC \) và các đường cao \( AD, BE, CF \)**:
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).

2. **Xét các đường vuông góc**:
- \( DK \perp AB \) và \( DN \perp AC \).

3. **Sử dụng tính chất của đường cao và trực tâm**:
- \( H \) là giao điểm của các đường cao, do đó \( H \) nằm trên các đường cao \( AD, BE, CF \).

4. **Sử dụng tính chất của các đường song song**:
- Để chứng minh \( EF \parallel AN \), ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.

5. **Sử dụng định lý Thales**:
- Trong tam giác \( ABC \), nếu \( EF \parallel AN \), thì theo định lý Thales, ta có thể suy ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.

6. **Chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất hình học**:
- Ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao để chứng minh rằng \( EF \parallel AN \).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng \( \frac{AF}{AK} = \frac{AH}{AD} \) và \( EF \parallel AN \) bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao.