Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M,, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD. a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình bình hành. b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của DN với CM và AK . Chứng minh BCM = CDN. c) Chứng minh CM vuông góc với DN . d) Tính độ dài đoạn thẳng AI theo a

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình vuông và các định lý hình học cơ bản.

### a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình bình hành

- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \).
- Trung điểm \( M \) của \( AB \) có tọa độ \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- Trung điểm \( N \) của \( BC \) có tọa độ \( N\left(a, \frac{a}{2}\right) \).
- Trung điểm \( K \) của \( CD \) có tọa độ \( K\left(\frac{a}{2}, a\right) \).

Ta cần chứng minh \( AM \parallel CK \) và \( AM = CK \).

- Vector \( \overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- Vector \( \overrightarrow{CK} = \left(\frac{a}{2} - a, a - a\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0\right) \).

Nhận thấy \( \overrightarrow{AM} \) và \( \overrightarrow{CK} \) cùng phương và có độ dài bằng nhau, do đó \( AM \parallel CK \) và \( AM = CK \).

Tương tự, ta có thể chứng minh \( AC \parallel MK \) và \( AC = MK \).

Vậy tứ giác \( AMCK \) là hình bình hành.

### b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của DN với CM và AK. Chứng minh \( \triangle BCM = \triangle CDN \).

- \( CM \) và \( DN \) là các đường chéo của hình vuông, do đó chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- \( CM \) và \( DN \) cắt nhau tại \( I \).

Ta có:
- \( \overrightarrow{BC} = (0, a) \)
- \( \overrightarrow{CD} = (-a, 0) \)

Xét hai tam giác \( \triangle BCM \) và \( \triangle CDN \):
- \( BC = CD = a \)
- \( BM = CN = \frac{a}{2} \)
- \( \angle BCM = \angle CDN = 90^\circ \)

Do đó, \( \triangle BCM = \triangle CDN \) (cạnh huyền - góc vuông).

### c) Chứng minh \( CM \) vuông góc với \( DN \).

- \( CM \) có phương trình đường thẳng đi qua \( C(a, a) \) và \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- \( DN \) có phương trình đường thẳng đi qua \( D(0, a) \) và \( N\left(a, \frac{a}{2}\right) \).

Ta tính hệ số góc của \( CM \) và \( DN \):
- Hệ số góc của \( CM \): \( m_{CM} = \frac{0 - a}{\frac{a}{2} - a} = \frac{-a}{-\frac{a}{2}} = 2 \).
- Hệ số góc của \( DN \): \( m_{DN} = \frac{\frac{a}{2} - a}{a - 0} = \frac{-\frac{a}{2}}{a} = -\frac{1}{2} \).

Tích hệ số góc: \( m_{CM} \cdot m_{DN} = 2 \cdot -\frac{1}{2} = -1 \).

Do đó, \( CM \) vuông góc với \( DN \).

### d) Tính độ dài đoạn thẳng \( AI \) theo \( a \).

- \( I \) là trung điểm của \( CM \) và \( DN \).

Tọa độ của \( I \):
- Trung điểm của \( CM \): \( I\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = I\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{2}\right) \).

Tọa độ của \( A \) là \( (0, 0) \).

Độ dài đoạn \( AI \):
\[ AI = \sqrt{\left(\frac{3a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{4a^2}{16}} = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{13}}{4} \].

Vậy độ dài đoạn thẳng \( AI \) là \( \frac{a\sqrt{13}}{4} \).