Để chứng minh đẳng thức \((1 + \tan x + \frac{1}{\cos x})(1 + \tan x - \frac{1}{\cos x}) = \frac{\sin 2x}{\cos^2 x}\), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản mà bạn đã học.

Trước hết, ta sẽ khai triển biểu thức bên trái:

\[
(1 + \tan x + \frac{1}{\cos x})(1 + \tan x - \frac{1}{\cos x})
\]

Sử dụng công thức hằng đẳng thức \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), ta có:

\[
a = 1 + \tan x \quad \text{và} \quad b = \frac{1}{\cos x}
\]

Do đó:

\[
(1 + \tan x + \frac{1}{\cos x})(1 + \tan x - \frac{1}{\cos x}) = (1 + \tan x)^2 - \left(\frac{1}{\cos x}\right)^2
\]

Bây giờ, ta tính từng phần riêng lẻ:

1. Tính \((1 + \tan x)^2\):

\[
(1 + \tan x)^2 = 1 + 2\tan x + \tan^2 x
\]

2. Tính \(\left(\frac{1}{\cos x}\right)^2\):

\[
\left(\frac{1}{\cos x}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 x}
\]

Do đó, ta có:

\[
(1 + \tan x + \frac{1}{\cos x})(1 + \tan x - \frac{1}{\cos x}) = 1 + 2\tan x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}
\]

Tiếp theo, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức này. Ta biết rằng:

\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]

Và:

\[
1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
\]

Do đó:

\[
1 + 2\tan x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + 2\tan x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}
\]

Ta biết rằng:

\[
1 = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}
\]

Do đó:

\[
1 + 2\tan x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x - 1}{\cos^2 x}
\]

Ta có:

\[
\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x + \sin x)^2
\]

Và:

\[
(\cos x + \sin x)^2 - 1 = \cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x - 1 = 2\sin x \cos x
\]

Do đó:

\[
\frac{\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x - 1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
\frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{\sin 2x}{\cos^2 x}
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
(1 + \tan x + \frac{1}{\cos x})(1 + \tan x - \frac{1}{\cos x}) = \frac{\sin 2x}{\cos^2 x}
\]