Cho tứ giác ABCD với các góc DAB = 90⁰ và BCD = 90⁰. Gọi O là trung điểm của BD. Ta sẽ chứng minh các yêu cầu sau:

1. Chứng minh OA = OC.
2. Chứng minh OA = OB = OC = OD, từ đó suy ra ABCD cùng nằm trên một đường tròn.

### 1. Chứng minh OA = OC

Vì góc DAB = 90⁰, tam giác DAB là tam giác vuông tại A. Tương tự, vì góc BCD = 90⁰, tam giác BCD là tam giác vuông tại C.

Gọi O là trung điểm của BD, ta có:
\[ OB = OD \]

Xét tam giác vuông DAB, ta có:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

Xét tam giác vuông BCD, ta có:
\[ OC^2 = OB^2 + BC^2 \]

Vì O là trung điểm của BD, nên:
\[ OB = OD \]

Do đó, ta có:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]
\[ OC^2 = OB^2 + BC^2 \]

Để chứng minh OA = OC, ta cần chứng minh:
\[ AB = BC \]

Xét tứ giác ABCD, vì góc DAB = 90⁰ và góc BCD = 90⁰, nên hai tam giác vuông DAB và BCD có cạnh huyền BD chung và hai góc vuông. Do đó, hai tam giác này đồng dạng và có:
\[ AB = BC \]

Vậy:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 = OB^2 + BC^2 = OC^2 \]

Suy ra:
\[ OA = OC \]

### 2. Chứng minh OA = OB = OC = OD, từ đó suy ra ABCD cùng nằm trên một đường tròn

Ta đã có:
\[ OA = OC \]
và
\[ OB = OD \]

Do O là trung điểm của BD, nên:
\[ OB = OD \]

Vì tam giác DAB và tam giác BCD là tam giác vuông tại A và C, nên:
\[ OA = OB \]
và
\[ OC = OD \]

Do đó, ta có:
\[ OA = OB = OC = OD \]

Vì OA = OB = OC = OD, nên các điểm A, B, C, D đều cách đều điểm O một khoảng bằng nhau. Điều này có nghĩa là các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn với tâm là O và bán kính là OA (hoặc OB, OC, OD).

Vậy tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn.