Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ giải từng phần một.

### Phần a: Chứng minh rằng \(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} = 2\).

Ta bắt đầu với biểu thức đã cho:
\[ \sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{(a-1)^2} = 1 \]

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa như sau:
\[ \sqrt{(a+1)^2} = |a+1| \]
\[ \sqrt{a^2 - 1} = |a-1| \]
\[ \sqrt{(a-1)^2} = |a-1| \]

Vì \(a\) là số thực, ta có hai trường hợp:
1. \(a \geq 1\)
2. \(a < 1\)

#### Trường hợp 1: \(a \geq 1\)

Khi \(a \geq 1\), ta có:
\[ |a+1| = a+1 \]
\[ |a-1| = a-1 \]

Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ (a+1) + (a-1) + (a-1) = 1 \]
\[ a+1 + a-1 + a-1 = 1 \]
\[ 3a - 1 = 1 \]
\[ 3a = 2 \]
\[ a = \frac{2}{3} \]

Thay \(a = \frac{2}{3}\) vào biểu thức \(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}\):
\[ \sqrt{\frac{2}{3} + 1} - \sqrt{\frac{2}{3} - 1} = \sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{-\frac{1}{3}} \]
Điều này không hợp lý vì \(\sqrt{-\frac{1}{3}}\) không xác định trong tập số thực.

#### Trường hợp 2: \(a < 1\)

Khi \(a < 1\), ta có:
\[ |a+1| = a+1 \]
\[ |a-1| = 1-a \]

Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ (a+1) + (1-a) + (1-a) = 1 \]
\[ a+1 + 1-a + 1-a = 1 \]
\[ 2 - a = 1 \]
\[ a = 1 \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(a < 1\).

Vậy không có giá trị \(a\) nào thỏa mãn điều kiện ban đầu và biểu thức \(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} = 2\) không thể chứng minh được.

### Phần b: Chứng minh rằng \(a = 0\).

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng không có giá trị \(a\) nào thỏa mãn điều kiện ban đầu. Do đó, \(a = 0\) cũng không phải là giá trị thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Kết luận: Không có giá trị \(a\) nào thỏa mãn điều kiện ban đầu và các yêu cầu trong bài toán không thể chứng minh được.