Để chứng minh các bất đẳng thức và các tính chất hình học được nêu trong bài, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Cô-si).

### Phần a:
Chứng minh \( x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz \) với \( x, y, z \geq 0 \):

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) cho ba số không âm \( x^3, y^3, z^3 \):

\[
\frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \geq \sqrt[3]{x^3 \cdot y^3 \cdot z^3} = xyz
\]

Nhân cả hai vế với 3, ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz
\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \( x = y = z \).

### Phần b:
Chứng minh \( \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \) với \( a, b, c \geq 0 \):

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm \( a, b, c \):

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \( a = b = c \).

### Phần 95:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:

#### a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất:

Giả sử hình hộp chữ nhật có các kích thước là \( a, b, c \) và tổng ba kích thước là \( a + b + c = k \) không đổi. Ta cần chứng minh thể tích \( V = abc \) lớn nhất khi \( a = b = c \).

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Vì \( a + b + c = k \), ta có:

\[
\frac{k}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Nhân cả hai vế với 3, ta có:

\[
k \geq 3\sqrt[3]{abc}
\]

Lập phương cả hai vế:

\[
k^3 \geq 27abc
\]

Do đó, \( abc \leq \frac{k^3}{27} \). Dấu đẳng thức xảy ra khi \( a = b = c \). Khi đó, hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương và thể tích đạt giá trị lớn nhất.

#### b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất:

Giả sử hình hộp chữ nhật có các kích thước là \( a, b, c \) và thể tích \( V = abc \) không đổi. Ta cần chứng minh tổng \( a + b + c \) nhỏ nhất khi \( a = b = c \).

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}
\]

Vì \( abc = V \), ta có:

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{V}
\]

Nhân cả hai vế với 3, ta có:

\[
a + b + c \geq 3\sqrt[3]{V}
\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \( a = b = c \). Khi đó, hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương và tổng ba kích thước đạt giá trị nhỏ nhất.