Để giải phương trình \( \frac{3}{x + 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{2x + 6} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đưa về mẫu số chung**:
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( 2x + 6 = 2(x + 3) \). Do đó, phương trình có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{3}{x + 3} - \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{2(x + 3)}
\]

2. **Quy đồng mẫu số**:
Để quy đồng mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu của phân số đầu tiên với 2:
\[
\frac{2 \cdot 3}{2(x + 3)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{2(x + 3)}
\]
Điều này cho ta:
\[
\frac{6}{2(x + 3)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{2(x + 3)}
\]

3. **Đưa về cùng mẫu số**:
Bây giờ, ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[
\frac{6}{2(x + 3)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{2(x + 3)}
\]

4. **Chuyển vế và đơn giản hóa**:
Ta chuyển vế để đưa các phân số về cùng một phía:
\[
\frac{6}{2(x + 3)} - \frac{5}{2(x + 3)} = \frac{1}{x - 2}
\]
Điều này cho ta:
\[
\frac{6 - 5}{2(x + 3)} = \frac{1}{x - 2}
\]
\[
\frac{1}{2(x + 3)} = \frac{1}{x - 2}
\]

5. **So sánh tử số và mẫu số**:
Vì hai phân số bằng nhau, nên tử số và mẫu số của chúng phải bằng nhau:
\[
2(x + 3) = x - 2
\]

6. **Giải phương trình**:
Ta giải phương trình này:
\[
2x + 6 = x - 2
\]
\[
2x - x = -2 - 6
\]
\[
x = -8
\]

7. **Kiểm tra điều kiện xác định**:
Ta cần kiểm tra xem giá trị \( x = -8 \) có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ban đầu hay không. Điều kiện xác định là \( x + 3 \neq 0 \) và \( x - 2 \neq 0 \), tức là \( x \neq -3 \) và \( x \neq 2 \). Vì \( x = -8 \) không vi phạm các điều kiện này, nên nó là nghiệm của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -8 \).