Cho tam giác nhọn ABC ( AB< AC), hai đường cao AD và BE(D thuộc BC; E thuộc AC)

Bài 6. Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)), hai đường cao \(AD\) và \(BE\) (\(D \in BC\); \(E \in AC\)).

1) Chứng minh \(\triangle ADC \cong \triangle BEC\).

2) Kẻ \(DF\) vuông góc \(AC\) tại \(F\). Kẻ \(FK\) vuông góc với \(DC\) tại \(K\). Chứng minh:
a) \(FA \cdot FC = DK \cdot DC\)
b) \(\frac{CD^2}{AD^2} = \frac{CK}{DK}\)

**Giải:**

1) Chứng minh \(\triangle ADC \cong \triangle BEC\):

- Xét \(\triangle ADC\) và \(\triangle BEC\):
- \( \angle ADC = \angle BEC = 90^\circ \) (vì \(AD\) và \(BE\) là các đường cao).
- \(\angle CAD = \angle CBE\) (cùng là góc nhọn của tam giác \(ABC\)).
- \( \angle ACD = \angle BCE \) (cùng là góc nhọn của tam giác \(ABC\)).

Do đó, \(\triangle ADC \cong \triangle BEC\) theo trường hợp góc-góc-góc (AAA).

2) Chứng minh:
a) \(FA \cdot FC = DK \cdot DC\)

- Xét \(\triangle ADF\) và \(\triangle DCF\):
- \( \angle ADF = \angle DCF = 90^\circ \) (vì \(DF\) vuông góc với \(AC\)).
- \( \angle AFD = \angle CFD \) (góc chung).

Do đó, \(\triangle ADF \sim \triangle DCF\) theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{FA}{DK} = \frac{FC}{DC} \]

Suy ra:
\[ FA \cdot FC = DK \cdot DC \]

b) \(\frac{CD^2}{AD^2} = \frac{CK}{DK}\)

- Xét \(\triangle ADF\) và \(\triangle DCF\):
- \( \angle ADF = \angle DCF = 90^\circ \) (vì \(DF\) vuông góc với \(AC\)).
- \( \angle AFD = \angle CFD \) (góc chung).

Do đó, \(\triangle ADF \sim \triangle DCF\) theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AD}{CD} = \frac{FA}{FC} \]

Suy ra:
\[ \frac{AD^2}{CD^2} = \frac{FA^2}{FC^2} \]

Mà \(FA \cdot FC = DK \cdot DC\), nên:
\[ \frac{FA}{FC} = \frac{DK}{DC} \]

Do đó:
\[ \frac{AD^2}{CD^2} = \frac{DK}{DC} \]

Suy ra:
\[ \frac{CD^2}{AD^2} = \frac{CK}{DK} \]

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.