Cho hình bình hành ABCD. Kẻ BM, DN vuông góc với AC ( M, N ∈ AC). Gọi K là điểm đối xứng với B qua M. Tứ giác ADKC là hình gì? Vì sao?

3) Gọi K là điểm đối xứng với B qua M. Tứ giác ADKC là hình gì? Vì sao?

Để chứng minh tứ giác ADKC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

- Vì K là điểm đối xứng với B qua M nên M là trung điểm của BK. Do đó, BM = MK.
- Ta có BM vuông góc với AC (giả thiết), nên MK cũng vuông góc với AC.
- Từ đó, ta có BM // DN và BM = DN (vì BM và DN đều là các đoạn vuông góc từ B và D đến AC, và AC là đường chéo của hình bình hành ABCD nên các đoạn này bằng nhau).

Vậy, ta có:
- AD // KC (vì AD và BC là hai cạnh đối song song của hình bình hành ABCD, và K là điểm đối xứng với B qua M nên KC // AD).
- AD = KC (vì AD = BC và K là điểm đối xứng với B qua M nên KC = AD).

Do đó, tứ giác ADKC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ADKC là hình bình hành.

4) Tia BN cắt tia KD tại P. Chứng minh các đường thẳng PM, BD, KN đồng quy.

Để chứng minh các đường thẳng PM, BD, KN đồng quy, ta cần chứng minh rằng chúng cắt nhau tại một điểm chung.

- Ta đã biết rằng BM vuông góc với AC và DN vuông góc với AC, nên BM và DN cắt nhau tại M.
- Vì K là điểm đối xứng với B qua M, nên M là trung điểm của BK. Do đó, PM là đường trung trực của BK.
- Từ đó, ta có PM cắt BK tại M.
- Vì BM // DN và BM = DN, nên BM và DN cắt nhau tại M.
- Từ đó, ta có PM cắt DN tại M.
- Do đó, PM, BD, KN đồng quy tại M.

Vậy, các đường thẳng PM, BD, KN đồng quy tại M.