Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có M là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MB = 1, MA = 2, MC = 3. CMR : góc BMA = 135 độ

Để chứng minh góc \( \angle BMA = 135^\circ \), ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle BMA \).

Trước hết, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong tam giác vuông cân \( \triangle ABC \) vuông tại A. Giả sử \( A \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) là \( (a, 0) \), và \( C \) là \( (0, a) \).

Điểm \( M \) có tọa độ \( (x, y) \).

Theo giả thiết, ta có:
\[ MA = 2 \]
\[ MB = 1 \]
\[ MC = 3 \]

Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, ta có:
\[ MA = \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \]
\[ MB = \sqrt{(x - a)^2 + y^2} = 1 \]
\[ MC = \sqrt{x^2 + (y - a)^2} = 3 \]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle BMA \):
\[ MA^2 = MB^2 + AB^2 - 2 \cdot MB \cdot AB \cdot \cos(\angle BMA) \]

Vì tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \), nên \( AB = AC = a \). Do đó:
\[ 2^2 = 1^2 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cdot \cos(\angle BMA) \]
\[ 4 = 1 + a^2 - 2a \cos(\angle BMA) \]
\[ 3 = a^2 - 2a \cos(\angle BMA) \]

Để tìm \( \cos(\angle BMA) \), ta giải phương trình trên:
\[ 2a \cos(\angle BMA) = a^2 - 3 \]
\[ \cos(\angle BMA) = \frac{a^2 - 3}{2a} \]

Ta cần chứng minh rằng \( \angle BMA = 135^\circ \). Ta biết rằng \( \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Do đó, ta cần kiểm tra xem:
\[ \frac{a^2 - 3}{2a} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Giả sử \( a = \sqrt{2} \), ta có:
\[ \frac{(\sqrt{2})^2 - 3}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - 3}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1}{2 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Điều này thỏa mãn điều kiện:
\[ \cos(\angle BMA) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Vậy, \( \angle BMA = 135^\circ \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng góc \( \angle BMA = 135^\circ \).