Để chứng minh tam giác \( LKN \) đều, ta cần chứng minh rằng \( LK = KN = LN \).

Trước tiên, ta sử dụng các tính chất của đường trung trực và trung điểm để phân tích các đoạn thẳng và góc trong tứ giác \( ABCD \).

1. **Tính chất của đường trung trực:**
- Đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \) cắt đoạn thẳng \( AB \) tại trung điểm của nó và vuông góc với \( AB \).
- Đường trung trực của đoạn thẳng \( CD \) cắt đoạn thẳng \( CD \) tại trung điểm của nó và vuông góc với \( CD \).

2. **Gọi \( O \) và \( P \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \).**
- Vì \( M \) nằm trên đường trung trực của \( AB \) và \( CD \), nên \( MA = MB \) và \( MC = MD \).

3. **Góc \( \angle AMB = 60^\circ \) và \( \angle CMD = 60^\circ \):**
- Xét tam giác \( AMB \), ta có \( MA = MB \) và \( \angle AMB = 60^\circ \). Do đó, tam giác \( AMB \) là tam giác đều.
- Tương tự, xét tam giác \( CMD \), ta có \( MC = MD \) và \( \angle CMD = 60^\circ \). Do đó, tam giác \( CMD \) là tam giác đều.

4. **Xét các trung điểm \( K, N, L \):**
- \( K \) là trung điểm của \( BC \).
- \( N \) là trung điểm của \( AM \).
- \( L \) là trung điểm của \( DM \).

5. **Chứng minh tam giác \( LKN \) đều:**
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AM \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AN = NM \).
- Vì \( L \) là trung điểm của \( DM \) và \( M \) là trung điểm của \( CD \), nên \( DL = LM \).

6. **Sử dụng tính chất đối xứng và tam giác đều:**
- Tam giác \( AMB \) đều nên \( AN = NM \) và \( \angle ANM = 60^\circ \).
- Tam giác \( CMD \) đều nên \( DL = LM \) và \( \angle DLM = 60^\circ \).

7. **Xét tam giác \( LKN \):**
- \( LK = \frac{1}{2} BC \) do \( K \) là trung điểm của \( BC \).
- \( KN = \frac{1}{2} AM \) do \( N \) là trung điểm của \( AM \).
- \( LN = \frac{1}{2} DM \) do \( L \) là trung điểm của \( DM \).

8. **Kết luận:**
- Do \( AM = MB \) và \( MC = MD \), nên \( LK = KN = LN \).
- Tam giác \( LKN \) có ba cạnh bằng nhau và các góc bằng \( 60^\circ \), do đó tam giác \( LKN \) là tam giác đều.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( LKN \) là tam giác đều.