Để chứng minh các tính chất của hình bình hành ABCD và các điểm M, N, P, Q, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và trung điểm của đoạn thẳng.

**a) Chứng minh MN = PQ**

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD, ta có:
- M là trung điểm của AB
- N là trung điểm của BC
- P là trung điểm của CD
- Q là trung điểm của DA

Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, ta có:
- AC và BD cắt nhau tại trung điểm O.

Xét tam giác ABD:
- M và Q là trung điểm của AB và AD, nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD.
- Theo tính chất đường trung bình, MQ song song với BD và MQ = 1/2 BD.

Tương tự, xét tam giác BCD:
- N và P là trung điểm của BC và CD, nên NP là đường trung bình của tam giác BCD.
- Theo tính chất đường trung bình, NP song song với BD và NP = 1/2 BD.

Vì MQ = 1/2 BD và NP = 1/2 BD, ta có:
\[ MQ = NP \]

Do đó, ta có:
\[ MN = PQ \]

**b) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành**

Để chứng minh MNPQ là một hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ giác MNPQ song song và bằng nhau.

Từ phần a, ta đã chứng minh được rằng:
\[ MN = PQ \]
và
\[ MN \parallel PQ \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:
\[ MP = NQ \]
và
\[ MP \parallel NQ \]

Xét tam giác ABC:
- M và N là trung điểm của AB và BC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
- Theo tính chất đường trung bình, MN song song với AC và MN = 1/2 AC.

Tương tự, xét tam giác CDA:
- P và Q là trung điểm của CD và DA, nên PQ là đường trung bình của tam giác CDA.
- Theo tính chất đường trung bình, PQ song song với AC và PQ = 1/2 AC.

Vì MN và PQ đều song song với AC và có độ dài bằng nhau, ta có:
\[ MN \parallel PQ \]
và
\[ MN = PQ \]

Tương tự, xét tam giác ABD và BCD, ta có:
- MQ và NP đều song song với BD và có độ dài bằng nhau, nên:
\[ MQ \parallel NP \]
và
\[ MQ = NP \]

Do đó, tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên MNPQ là một hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
a) MN = PQ
b) MNPQ là một hình bình hành.