Để chứng minh đẳng thức sau:

\[
\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3} - \frac{5}{a + \sqrt{a} - 6} + \frac{1}{2 - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} - 2}
\]

với \(a \ge 0\) và \(a \neq 4\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích và đơn giản hóa các phân số:**

Đầu tiên, ta sẽ phân tích và đơn giản hóa từng phân số trong đẳng thức.

2. **Phân số đầu tiên:**

\[
\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3}
\]

Không thể đơn giản hóa thêm, ta giữ nguyên phân số này.

3. **Phân số thứ hai:**

\[
\frac{5}{a + \sqrt{a} - 6}
\]

Ta sẽ phân tích mẫu số \(a + \sqrt{a} - 6\):

\[
a + \sqrt{a} - 6 = (\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} - 6
\]

Ta sẽ thử phân tích đa thức này thành tích của hai nhị thức:

\[
(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2) = a + \sqrt{a} - 6
\]

Vậy:

\[
\frac{5}{a + \sqrt{a} - 6} = \frac{5}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

4. **Phân số thứ ba:**

\[
\frac{1}{2 - \sqrt{a}}
\]

Ta sẽ nhân cả tử và mẫu với \(2 + \sqrt{a}\) để khử căn thức ở mẫu:

\[
\frac{1}{2 - \sqrt{a}} \cdot \frac{2 + \sqrt{a}}{2 + \sqrt{a}} = \frac{2 + \sqrt{a}}{(2 - \sqrt{a})(2 + \sqrt{a})} = \frac{2 + \sqrt{a}}{4 - a}
\]

5. **Kết hợp các phân số:**

Ta sẽ viết lại đẳng thức ban đầu với các phân số đã được đơn giản hóa:

\[
\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3} - \frac{5}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} + \frac{2 + \sqrt{a}}{4 - a} = \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} - 2}
\]

6. **Tìm mẫu số chung:**

Mẫu số chung của các phân số là \((\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)\).

Ta sẽ quy đồng các phân số:

\[
\frac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} - \frac{5}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} + \frac{(2 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 3)}{(4 - a)(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

7. **Đơn giản hóa tử số:**

\[
\frac{a - 4}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} - \frac{5}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} + \frac{(2 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 3)}{(4 - a)(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

\[
= \frac{a - 4 - 5 + (2 + \sqrt{a})(\sqrt{a} + 3)}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

\[
= \frac{a - 9 + 2\sqrt{a} + 3\sqrt{a} + 6}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

\[
= \frac{a - 3 + 5\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}
\]

8. **So sánh với vế phải:**

\[
\frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a} - 2}
\]

Ta thấy rằng hai vế không bằng nhau, do đó đẳng thức ban đầu không đúng.

Vậy đẳng thức đã cho không đúng với điều kiện \(a \ge 0\) và \(a \neq 4\).