Chứng minh CD = CA

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### Phần a: Chứng minh CD = CA

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), và phân giác góc \(BAH\) cắt \(BC\) tại \(D\).

1. **Xét tam giác \(BAH\)**:
- \(AH\) là đường cao từ \(A\) vuông góc với \(BC\).
- \(AD\) là phân giác của góc \(BAH\).

2. **Sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \(BAH\), phân giác \(AD\) chia cạnh đối diện \(BC\) thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của góc vuông.
- Do đó, ta có: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AH}\).

3. **Xét tam giác \(ABC\)**:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao từ \(A\) vuông góc với \(BC\).
- Ta có: \(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}\).

4. **Sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\), đường cao \(AH\) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \(ABH\) và \(ACH\).
- Ta có: \(\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC}\).

5. **Kết hợp các tỉ lệ**:
- Từ \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AH}\) và \(\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC}\), ta suy ra:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AH}{AC}.
\]

6. **Suy ra \(BD = DC\)**:
- Vì \(AH\) là đường cao và \(AD\) là phân giác, nên \(D\) là trung điểm của \(BC\).
- Do đó, \(BD = DC\).

7. **Kết luận**:
- Vì \(BD = DC\) và \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(CD = CA\).

### Phần b: Chứng minh tam giác \(BEH\) cân

1. **Vẽ \(BE\) vuông góc với \(AD\)**:
- \(BE\) vuông góc với \(AD\) tại \(E\).

2. **Xét tam giác \(BEH\)**:
- Ta cần chứng minh tam giác \(BEH\) cân tại \(B\).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \(BAH\), \(AD\) là phân giác của góc \(BAH\).
- Do đó, \(AD\) chia góc \(BAH\) thành hai góc bằng nhau.

4. **Sử dụng tính chất của đường cao và phân giác**:
- \(BE\) vuông góc với \(AD\) tại \(E\), nên \(E\) là chân đường cao từ \(B\) đến \(AD\).

5. **Xét tam giác vuông \(BEH\)**:
- Tam giác \(BEH\) có \(BE\) vuông góc với \(AD\) và \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Do đó, \(BE\) và \(AH\) là hai đường cao của tam giác \(BEH\).

6. **Kết luận**:
- Vì \(BE\) và \(AH\) là hai đường cao của tam giác \(BEH\), nên tam giác \(BEH\) cân tại \(B\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(CD = CA\) và tam giác \(BEH\) cân tại \(B\).